Modélisation et étude paramétrique du comportement mécanique des tenségrités membranaires
Les pavillons en tenségrité membranaire, par exemple le Moom Pavillon du Kojima Laboratory ou le Knit Tensegrity Shell de Kenneth Tracy et Sergei Gupta, intriguent. Comment est-ce que cela tient ? Peut-on prédire leur comportement ? Est-ce réellement applicable à l’architecture ? Autant de questions dont les réponses dans la littérature sont rares. Nous avons donc abordé le problème en concepteur : il faut définir et décrire l’objet pour le comprendre puis le modéliser pour envisager son application architecturale réelle.
Qu'est-ce qu'une tenségrité membranaire ?
Une tenségrité, définie par Buckminster Fuller comme un océan de tension avec des îlots de compression, est un système structurel de barres discontinues et câbles continus qui admet difficilement l’ajout d’éléments de couverture. Bien que la finesse et la poésie de ces structures soient indéniables (Fig.1), leur applicabilité en architecture n’a jamais été prouvée.
Figure 1. Easy K Installation pour l’exposition Sonsbeek ’70, Arnhem, Pays-Bas (1970) (Kenneth Snelson)
Quant à elle, une structure à membrane active mobilise une membrane pour contraindre des éléments fléchis ou comprimés, par exemple : un parapluie (Fig.2).
Figure 2. Grandes ombrières pour le concert de Pink Floyd par Frei Otto (1970)
Et la tenségrité membranaire, c’est donc un peu des deux. C’est une membrane, patronnée selon la forme souhaitée, dans laquelle on place des barres disjointes. Les barres sont étendues pour mettre en tension la membrane et donc créer une structure auto-stable !
Mais à quoi sert une tenségrité membranaire ? À construire une structure légère, auto-stable et sans élément extérieur type ancrage ou gonfleurs : par exemple, un dôme éphémère en toile, ouvert sur l’extérieur, prêt à accueillir les spectateurs d’un festival estival !
Comment se comporte une tenségrité membranaire ?
Au regard des ouvrages construits existants, force est de constater qu’une tenségrité membranaire est stable. Pour comprendre son comportement, il est donc intéressant de comprendre d’où provient la raideur de ce système, notamment en le comparant à des structures plus usuelles.
Raideur géométrique
Les tenségrités membranaires sont des structures au comportement non-linéaire, géométriquement et matériellement. La raideur apparente de la structure provient principalement de la raideur géométrique du système, c’est-à-dire le couplage entre précontrainte et géométrie. Les analogies permettent d’appréhender cette notion plus facilement.
Structure réciproque
La base de la tenségrité membranaire est la réciprocité du réseau de barre au sein d’une toile continue. Un module tend une partie de la toile continue. Cette zone acquiert une raideur et sert d’appui au module suivant. En allant de proche en proche, on crée ainsi une structure stable à la condition de la continuité de la zone de tension (Fig.3).
Figure 3. Réciprocité et continuité de la zone de tension, à gauche une structure stable, à droite un mécanisme
Structure gonflable
La tenségrité membranaire est aussi assimilable à une structure gonflable. Quand on s’attarde sur le cas de prétension, en faisant l’exercice de réduire la fenêtre d’ouverture à une taille infinitésimale, il est facile de démontrer que l’effort normal dans les barres se traduit par un effort normal à la membrane, une pression discrétisée à chaque fenêtre d’ouverture (Fig.4).
Figure 4. Analogie gonfable
En maquette cette conclusion apparaît clairement. Dans les zones où cette pression discrète est attendue, la toile est tendue sans élément structurel intérieur (Fig.5).
Figure 5. Analogie gonflable en 3D et zone de tension en maquette
Coque
Sous poids propre, un autre aspect apparaît. L’augmentation des efforts au droit des appuis (fig 6.) évoque un comportement de coque. Il y a un glissement entre un comportement avec une raideur en flexion (expliquée par l’analogie gonflable) en partie haute où la charge est normale à la structure vers un comportement avec une raideur membranaire, au droit des appuis, quand la charge est parallèle à la structure.
Figure 6. Effort normal dans les barres sous poids propre
Modélisation numérique
Génération de la géométrie
Le point de départ de la génération de géométrie est un postulat propre à notre étude. Si l’état de précontrainte est assimilable à un gonflable alors une surface de gonflable (surface à courbure moyenne constante, CMC) est une bonne surface de départ. Si la surface est une CMC alors les lignes de courbures principales et les lignes de contraintes principales sont confondues. Il semble opportun de générer un maillage quadrangulaire selon ces lignes pour orienter nos barres en fonction des lignes de contraintes principales. Dans chaque face on crée un module, puis on opère une rotation sur chaque réseau de barre (Fig.7). Après cela, il faut encore trouver une surface membranaire en équilibre. Avec une relaxation dynamique, en considérant les extrémités des barres comme des points fixes, on obtient une surface minimale, et donc une surface tendue en équilibre. Reste encore l’analyse non-linéaire de ces structures.
Figure 7. Génération de la géométrie
Modélisation 2D
L’élément clé de la modélisation aux éléments finis de ces structures est la modélisation de la connexion barre-toile. Numériquement, une barre est un élément 1D et la toile est un élément 2D, la connexion en un point crée donc une contrainte locale infinie et le calcul diverge. Il est nécessaire d’avoir un maillage fin, dans lequel certaines faces sont supprimées pour créer des diaphragmes transférant les efforts des barres à la toile (Fig.8).
Figure 8. Elément de répartition
Modélisation 1D
L’utilisation d’éléments 2D est demandeur en temps de calcul. Nous avons donc développé une méthode simplifiée avec un réseau de câbles équivalents. Sous réserve d’une attention particulière aux directions de la membrane (chaîne et trame) et à ses propriétés en cisaillement, un réseau équivalent permet de diminuer le nombre d’éléments tout en conservant la fiabilité du modèle. Les résultats de ce modèle simplifié ont aussi l’avantage d’être explicites quant au cheminement des efforts dans cette structure complexe (Fig.10).
Figure 9. Approximation de la membrane par un réseau de câbles
Figure 10. Résultat d’un modèle simplifié, effort normal
Paramètres
Orientation des barres
L’orientation des barres influence la raideur apparente de la structure. On sait que la longueur du cheminement des efforts est corrélée à la raideur du système. Il est donc important d’orienter les barres selon deux principes : un réseau doit minimiser le cheminement des efforts verticaux, notamment de poids propre ; le second réseau doit permettre de transférer les efforts horizontaux, par exemple de vent.
Densité du pavage
La raideur liée à la densité du pavage dépend d’un concours entre deux éléments géométriques. Plus on place de barres, plus on crée de points de pression discrète et plus on augmente la raideur de gonflable de la structure. Mais, plus on place de barres, plus elles sont parallèles à la membrane et moins leur précontrainte crée une pression discrète importante. L’étude a démontré qu’une subdivision de 8 éléments dans la direction de courbure principale est optimale pour maximiser la raideur en limitant le poids propre total.
Précontrainte
Qui dit structure tendue dit comportement sous-linéaire, et donc une relation non-linéaire entre précontrainte et gain de raideur. L’augmentation de la précontrainte pour pallier un manque de raideur est le dernier outil de l’ingénieur voulant améliorer la raideur de la structure. Puisque la précontrainte est appliquée par l’extension des barres dans la toile, une haute précontrainte demande d’appliquer un couple important pour étendre la barre. La mise en œuvre sera d’autant plus complexe que le niveau de précontrainte sera haut.
Passage à l’échelle construite
Principe
Pour ancrer cette étude dans une perspective construire réelle, nous avons conçu un pavillon éphémère de 25m². Le dimensionnement suit les normes Eurocodes concernant les chargements et les éléments barres et le JRC 132 615, concernant le calcul des structures tendues. L’impact environnemental de la structure a été aussi étudié en comparaison à d’autres structures légères connues (gridshell, dôme géodésique). Cette étude a conclu sur la faisabilité d’un tel ouvrage mais aussi sur la nécessité d’étudier avec attention les assemblages barre-toile pour minimiser la quantité d’acier employée et réduire l’impact ACB.
Figure 11. Coupe de principe sur le pavillon éphémère
Applicabilité
Ce travail est une ébauche des potentialités de la tenségrité membranaire. Elle démontre pour la première fois une applicabilité à échelle architecturale. Le champ est maintenant ouvert pour appliquer ces structures à des besoins concrets (abri d’urgence, festival musical, ombrière temporaire…), il faut construire !
Figure 12. Logigramme de dimensionnement
- Emmerich, D.G. 1988. Structures tendues et autotendantes. Paris : Editions de La Villette, 1988. Cité de l’architecture – 624.17 EMM.
- Kojima, K. 2011. MOOM Pavillon. Tokyo, Japon : ARQ (Santiago), 2011. 87, 40-43.
- Lewis, W.J. 2003. Tension Structures Form and Behaviour. Warwick : Thomas Telford, 2003. ISBN 0727732366, 9780727732361.
- Motro, R. 2003. Tensegrity : Structural Systems for the Future. s.l. : Elsevier, 2003. ISBN 978-1903996379.
- Rebeck, J. & Ferragu, L. & Oval, R. 2025. Parametric study of the mechanical behavior of membrane tensegrity structures. Muncih : Structural Membranes 2025, 2025. DOI coming soon.
- Tracy, K. & Tan, Y.Y & Yogiaman, C. 2023. Towards upscaling membrane tensegrity shells: A design-to-fabrication workflow. Melbourne : IASS 2023 pp.871-880, 2023.
- Tracy, K., Gupta, S. S., & Stella, L. Y. N. 2019. Exploring Spatial Membrane Tensegriy Shell Structures. Singapore : Acadia, 2019. 110-119.
